Уравнение гипотезы Мора в главных напряжениях

Напряженное состояние в любой точке тела описывается трехмерным тензором:

где: σ_ij — компоненты тензора напряжений.

Вектор напряжения на площадке с внешней нормалью n = n_ie_i имеет вид:

Здесь e_i — орты прямоугольной декартовой системы координат.

В развернутом виде этот вектор выражается так:

Квадрат модуля этого вектора:

В развернутом виде это выражение имеет вид:

Проектируя вектор (1.2) на направление нормали, находим его нормальную составляющую:

или в развернутой записи:

Касательное напряжение находим из выражения:

Подставим сюда значения σ_n, σ :

В развернутом виде:

Если известны компоненты напряжения σ_ij, то по формулам (1.4), (1.5) можно определить величины нормального и касательного напряжения на любой площадке. Отсюда следует, что напряжения на любой площадке можно изобразить в виде точки на плоскости σ, τ. В этих выражениях σ_ij известны, а направляющими косинусами нормали n_i к площадкам, на которых вычисляются нормальное σ и касательное τ напряжения, задаемся сами.

Выражения (1.4), (1.5) значительно упрощаются, если перейти к главным осям. Обозначим главные напряжения через σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃, считая сжимающие напряжения положительными величинами. При этом напряженное состояние изображается в виде точек, заключенных между тремя кругами и расположенных на самих этих кругах. Уравнения этих кругов имеют вид:

Уравнения точек этих кругов напишем в виде функций нормального напряжения:

На рис. 1 показаны расположения этих кругов.

В предыдущих выражениях величина нормального напряжения σ изменяется в пределах:

При одной и той же величине нормального напряжения σ максимальное по абсолютной величине касательное напряжение τ определяется выражением (1.11). Круг, определяемый этим выражением, называется наибольшим кругом напряжений. Предельными называются круги: