В машиностроении существуют задачи, где необходимо произвести расчет балки, которая опирается на протяженную опору (или подшипник скольжения) с определенной податливостью. При таком расчете в большинстве случаев принимают винклерову модель основания [1], названной так по имени немецкого ученого Э. Винклера. Само упругое основание представляется в виде бесконечного числа не связанных между собой пружин, работающих на сжатие, где имеется пропорциональная зависимость между реакцией основания и вертикальным перемещением (прогибом) его поверхности. Упругие и механические свойства, а также податливость самого основания характеризуются коэффициент жесткости k (размерность — Н/м2). Как правило, чем больше податливость, тем меньше коэффициент жесткости.
В качестве оценки влияния упругих свойств протяженной опоры на прогиб балки рассмотрим расчетную схему, которая представлена на рисунке 1 а. Как видно из рисунка балка, по краям которой расположены защемленные опоры, полностью лежит на самом упругом основании длиной L и коэффициентом жесткости k. На балку действует только распределённая нагрузка q.
Уравнение прогиба балки на упругом основании длиной L на основании граничных условий (yA = 0; φA = 0) представляет собой следующее выражение [1]:
где Ki (βz) (i = 1, 2, 3, 4) — функции Крылова А.Н.
k — коэффициент жесткости основания размерностью H/м2.
Функции Крылова А.Н. Ki(βz) по координате z имеют следующие выражения [1]:
Прогиб балки (1) в точке А (рис. 1 а), при z=L, будет иметь уже следующее выражение:
Угол поворота φA, изгибающий момент MA, поперечная сила QA в точке А будут иметь следующий вид:
На основании граничных условий расчетной схемы и полученных выражений (4) и (5) определяем выражение определения неизвестных QА и МА.
В силу симметричности расчетной схемы максимальный прогиб будет находится по середине самой балки (z= L/2). Тогда выражение (4) примет следующий вид: