В машиностроении существуют задачи, где необходимо произвести расчет балки, которая опирается на протяженную опору (или подшипник скольжения) с определенной податливостью. При таком расчете в большинстве случаев принимают винклерову модель основания [1], названной так по имени немецкого ученого Э. Винклера. Само упругое основание представляется в виде бесконечного числа не связанных между собой пружин, работающих на сжатие, где имеется пропорциональная зависимость между реакцией основания и вертикальным перемещением (прогибом) его поверхности. Упругие и механические свойства, а также податливость самого основания характеризуются коэффициент жесткости k (размерность — Н/м2). Как правило, чем больше податливость, тем меньше коэффициент жесткости.
В качестве оценки влияния упругих свойств протяженной опоры на прогиб балки рассмотрим расчетную схему, которая представлена на рис. 1, а. Как видно из рисунка балка, по краям которой расположены защемленные опоры, полностью лежит на самом упругом основании длиной L и коэффициентом жесткости k. На балку действует только распределённая нагрузка q.
Уравнение прогиба балки на упругом основании длиной L на основании граничных условий (yA = 0; φA= 0) представляет собой следующее выражение [1]:
где Ki(βz) (i = 1, 2, 3, 4) — функции Крылова А.Н.
k — коэффициент жесткости основания размерностью H/м2.
Функции Крылова А.Н. Ki(βz) по координате z имеют следующие выражения [1]:
Прогиб балки (1) в точке А (рис. 1, а), при z = L, будет иметь уже следующее выражение:
Угол поворота φA, изгибающий момент MA, поперечная сила QA в точке А будут иметь следующий вид:
На основании граничных условий расчетной схемы и полученных выражений (4) и (5) определяем выражение определения неизвестных QА и МА.
В силу симметричности расчетной схемы максимальный прогиб будет находится по середине самой балки (z = L/2). Тогда выражение (4) примет следующий вид: