Методы теории катастроф позволяют, в отличие от классической механики, описать не только непрерывные процессы, но и скачкообразные, обусловленные внезапными качественными переходами. Такие внезапные изменения, которые проявляются как ответ системы на плавное изменение входных переменных, и получили название катастроф [1].
Описание свойств таких систем при моделировании возможно с применением гладкой функции f [2], которая зависит от внутренних переменных (переменных состояния) и внешних параметров (управляющих переменных) и должна быть, естественно, адекватна. Роль такой функции может играть потенциальная энергия, функция тока (геометрия жидкостей) [3], термодинамические потенциалы (при исследовании фазовых переходов) [4] и т. п. Анализ устойчивости и катастроф существенно упрощается, если вид функции f соответствует одной из семи элементарных катастроф Р. Тома или может быть приведен небольшими диффеоморфными преобразованиями к каноническим катастрофам [5].
На сегодняшний день методы теории катастроф еще не доработаны до возможности решения инженерных задач, но могут быть использованы при проектировании технических систем, в том числе и элементов конструкций технологических машин, использующихся в лесном комплексе.
Метод оценки вероятности безотказной работы элементов конструкций с применением катастрофы сборки для варианта, при котором управляющие параметры являются случайными величинами. Многообразие катастрофы сборки и пространство управляющих параметров. Катастрофа сборки является одной из семи элементарных катастроф согласно классификации Рене Тома [6] (рис. 1). Потенциальная функция катастрофы сборки определяется выражением
где x – переменная состояния; a, b – переменные управления (управляющие параметры).
Многообразие M (поверхность равновесия) катастрофы сборки определяется выражением
Рисунок 1 представляет поведение многообразия M катастрофы и ее проекцию на плоскость ab, определяющую переменные управления a и b. При изменении координат точка (a, b) поверхности М опишет некоторую кривую в плоскости ab, т. е. наблюдаемая точка пройдет путь на поверхности равновесия M, соответствующий пути в плоскости ab. Этот путь произведет «перескок» с одного листа поверхности на другой лист из-за сборки, присутствующей на поверхности равновесия, поскольку точки, которые принадлежат внутренней поверхности сборки, отвечают неустойчивому состоянию системы. Такое скачкообразное изменение системы – катастрофа – наступает при выходе траектории из области I, поскольку, согласно принципу максимального промедления, «у системы не остается другого выбора» (perfect delay), Р. Тома [6]. Таким образом, плавные изменения координат a и b (рис. 1, 2) приведут к внезапным изменениям переменной состояния x и вызовут катастрофические скачки.