Анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочечных конструкций, широко используемых в машиностроении, представляет известные сложности, поскольку только для узкого класса задач имеется аналитическое решение. В связи с этим численные методы расчета получили широкое распространение. Одним из наиболее эффективных численных методов расчета сложных оболочечных конструкций является метод конечных элементов (МКЭ). На сегодняшний день для определения НДС конструкций из оболочек широко используются конечно-элементные программные комплексы, такие как ABAQUS, ANSYS, NASTRAN и другие, основанные на скалярной аппроксимации искомых величин. Данный вид аппроксимации не лишен недостатков, поэтому вопрос разработки алгоритмов, позволяющих получать точные решения для сложных сочлененных оболочечных конструкций, остается актуальным и рассматривается в данной статье.
В качестве элемента дискретизации оболочки выбирается четырехугольный фрагмент срединной поверхности с узлами i, j, k и l, отображаемый, для удобства численного интегрирования, на квадрат с локальными координатами
При векторном способе интерполирования перемещений столбцы узловых неизвестных в глобальной
и локальной
системах координат выбираются в виде:
Вектор перемещения внутренней точки четырехугольного элемента дискретизации интерполируется через свои узловые значения с помощью выражения вида:
Входящие в столбец
векторы перемещений узлов конечного элемента и их производные по глобальным координатам x и θ могут быть представлены компонентами векторов локальных базисов узловых точек:
где верхний индекс m обозначает узлы четырехугольного элемента дискретизации i, j, k и l;
– многочлены, содержащие компоненты векторов перемещений узлов конечного элемента и их производные.
С учетом (4) столбец
может быть представлен матричным произведением:
где: {nу} – столбец, содержащий узловые значения компонент вектора перемещений, а также узловые компоненты первых и вторых производных вектора перемещения. Дальнейшие преобразования выполнялись в соответствии с [4].