Решение дифференциальных уравнений является важной и сложной задачей, возникающей при математическом моделировании различных технических задач. Существует множество приемов для нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные или через специальные функции, например функции Бесселя. Но очень часто в практических задачах такие методы или вообще неприменимы, или приводят к таким сложным решениям, что затраты труда на их получение или на соответствующие расчеты превосходят все допустимые пределы. Таким образом, численные методы являются актуальным и универсальным методом решения большинства дифференциальных уравнений, когда классические методы неприменимы. Наиболее известными из таких методов являются метод Эйлера и метод Рунге-Кутта, которые широко применяются в навигации при решении различных задач наведения. В данной работе подробно изучены эти два метода и реализовано их решение в программе САПР Matlab [1–5].
Численные методы для ОДУ — это методы, используемые для нахождения численных приближений к решениям ОДУ. Их использование также известно как «численное интегрирование».
Приведем пример решения ДУ, используя описанные выше методы. Решим задачу Коши аналитически, а также численными методами Эйлера 1-го порядка, Рунге-Кутта 4-го порядка с помощью компьютерной программы MATLAB. А также проведем анализ полученных решений [6–10].
Решим уравнение
при начальных условиях x(0) =1 на отрезке [0;6].
Применим метод разделяющихся переменных:
где CЄR.
Учитывая начальные условия x(0) = 1, находим параметр CЄR:
Тогда частное решение заданного ДУ имеет вид: x = e–t.
Наиболее простым методом решения ДУ является метод Эйлера 1-го порядка.
Рассмотрим решение задачи Коши для ОДУ первого порядка:
при начальных условиях y(x0) = y0.
Метод Эйлера 1-го порядка основан на разложении функции y(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0:
Полагая, что шаг интегрирования h мал, в методе Эйлера 1-го порядка пренебрегают членами 2-го и высших порядков: