В работе [1, глава 2.7, стр. 67], посвященной уровенному эллипсоиду, говорится дословно: «Основным здесь является то, что постулируя уровенный эллипсоид как эквипотенциальную поверхность нормального гравитационного поля и задавая общую массу M, мы тем самым полностью и однозначно определяем нормальный потенциал U. Точное распределение плотности внутри эллипсоида, создающего потенциал U, не имеет значения, и знать его не требуется. В действительности, нам не известно не одного приемлемого распределения масс для уровненного эллипсоида (Moritz, 1990: гл. 5). Pizzeti (1894) безуспешно использовал однородное распределение плотности в сочетании с поверхностным слоем отрицательной плотности, что довольно «неестественно».
В настоящей работе приводится исчерпывающее решение приведенной проблемы в самом общем случае.
В работе [3] доказана теорема:
При любой дважды непрерывно дифференцируемой функции
определенной внутри поверхности S и, удовлетворяющей условиям:
где
определяется на поверхности S и является произвольной непрерывной функцией, а функция K(x,y,z) является решением внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Причем выполнены краевые условия:
Функция (οܯ — оператор Лапласа)
задает плотность распределения вещества внутри поверхности S.
При этом внутри поверхности S, где находится точка ܲР (x, y, z), имеет место тождество:
Отсюда легко определить производную
функции К (x,y,z) по направлению внешней нормали ݊ne к поверхности S.
Применим полученные результаты к уровенному эллипсоиду, определяемого уравнением:
В криволинейных ортогональных координатах
где
— большая полуось координатного эллипсоида;
— косинус угла наклона асимптотического конуса гиперболоида;
— долгота;
c — фокальное расстояние, определяемое по формуле ܿc2 = a2 - b2, внешний потенциал (без учета вращения) уровенного эллипсоида можно записать в виде: