Анализ работ по исследованию образования погрешностей обработки плоскостей торцовым фрезерованием показал, что точность их формы, размера и взаимного их расположения в значительной степени зависит от упругих перемещений технологической системы, обусловленных ее податливостью и наличием сил резания, которые непостоянны в пределах одного оборота фрезы [1]. Для определения величин и направлений упругих перемещений узлов станка в результате действия сил резания, при допущении, что технологическая система линейна и работает в пределах упругих деформаций, подчиняющихся закону Гука, выбираем в качестве модели некоторую систему Q, обладающую шестью степенями свободы и имеющую независимые от времени упругие связи с другой неподвижной, абсолютно жесткой системой. Система Q (рис. 1) может получать линейные Δx, Δy, Δz, а также Δθ1 , Δθ2, Δθ3 угловые перемещения под действием равнодействующей всех сил
В общем случае потенциальная энергия рассматриваемой системы является функцией перемещений П = (Δx, Δy, Δz, Δθ1 , Δθ2, Δθ3 ).
Разлагая потенциальную энергию П в окрестности положения равновесия Δx = Δy = … = Δθ3 = 0 в ряд Тейлора по степеням Δx, Δy, …, Δz, имеем:
Потенциальную энергию в положении равновесия П0 принимаем равной нулю, величины
Окончательно удерживая члены второго порядка и пренебрегая членами третьего и более высокого порядка, потенциальную энергию выразим в форме:
Постоянные величины
— коэффициенты, характеризующие жесткость системы по осям x, y, z, жесткость взаимного влияния и крутильную жесткость.
Проекции силы P0 на координатные оси и моменты ее относительно центра поворота, которые привели систему Q в состояние с энергией П:
Таким образом, из (3) следует:
Из выражения (4) можно определить искомые перемещения:
Так как матрица J − симметрическая, элементы которой j ik = Jki, следовательно, обратная матрица, матица податливостей W, также симметрическая: