В работе [6, глава 2.7, стр.67], посвященная уровенному эллипсоиду, говорится дословно: «Основным здесь является то, что, постулируя уровенный эллипсоид как эквипотенциальную поверхность нормального гравитационного поля и задавая общую массу M, мы тем самым полностью и однозначно определяем нормальный потенциал U. Точное распределение плотности внутри эллипсоида, создающего потенциал U, не имеет значения, и знать его не требуется. В действительности, нам не известно ни одного приемлемого распределения масс для уровненного эллипсоида (Moritz 1990: гл. 5). Pizzeti (1894) безуспешно использовал однородное распределение плотности в сочетании с поверхностным слоем отрицательной плотности, что довольно «неестественно».
Приведенное говорит об актуальности вывода аналитических формул для определения плотности гравитирующего тела, тем более что она определяет и его внешнее гравитационное поле.
Решение внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа определяет внешнее гравитационное поле тела. Но никакой информации не несет о внутреннем строении тела (в частности, о плотности распределения вещества внутри тела). В этом направлении авторам не известно ни одной работы.
В статьях [1,2] получено линейное однородное интегральное уравнение для определения соответствующей плотности, а здесь приведено его обобщение на неоднородный случай с полным решением.
где r-дается формулой
с известной функцией φ(x, y, z) на известной поверхности S.
Найдя теперь решение уравнения (1) с краевым условием
и краевым условием
При этом плотность и внутренний потенциал этого распределения даются формулами соответственно [1]:
Отсюда легко определить производную
является решением интегрального уравнения (1).
С помощью приведенного результата, используя формулу, полученную в работе [3], решена проблема определения плотности вещества внутри уровенного эллипсоида [4].
Записав уравнение (1) в виде:
Выводы: если найдено решение уравнения (1), удовлетворяющее граничному условию (6), то мы получаем: