По всем вопросам звоните:

+7 495 274-22-22

УДК: 621.9 DOI:10.33920/pro-2-2201-04

Анализ применения различных численных методов интегрирования и их практическая реализация в САПР Matlab

Юдачев С. С., канд. техн. наук, доцент, МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, 105005, Москва ул. 2-я Бауманская, д. 5
Ситников С. С., МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, 105005, Москва ул. 2-я Бауманская, д. 5, е-mail: sitnikovss@bk.ru
Гордиенко Н.А. МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, 105005, Москва ул. 2-я Бауманская, д. 5
Монахов П.А. МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, 105005, Москва ул. 2-я Бауманская, д. 5

В статье приведен анализ численных методов интегрирования. Данные методы часто применяют при решении различных технических задач на производстве. Рассмотрены и реализованы итерационные численные методы в САПР Matlab, среди которых такие как метод интегрирования центральными прямоугольниками, метод трапеций, метод Симпсона. Практическая значимость работы — ознакомление с базовыми численными методами, имеющими широкое применение в вычислительной технике, а также с мощным вычислительным средством — Matlab. В ходе работы описаны алгоритмы каждого метода, приведены коды программ с иллюстрациями для оценки результатов вычисления того или иного метода. Сделаны выводы касательно точности каждого метода. Программное обеспечение и математические выдержки, используемые в работе, находятся в открытом доступе в интернете, что позволяет любому желающему провести аналогичную работу и убедиться в корректности написанных кодов и полученных выводов. Данная работа может использоваться не только для обучения студентов в области разработки электронных устройств в части их алгоритмизирования и для организации лабораторных работ, но и при создании и проектировании реальных устройств как на производстве, так и в рамках высшего учебного заведения, например для разработки лабораторных работ с использованием специализированного САПР. Ознакомление и изучение данного программного обеспечения проводятся на кафедрах одного из ведущих инженерных университетов Российской Федерации.

Литература:

1. Самарский, А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А. А. Самарский, П.Н. Вабищевич. — М.: ЛКИ, 2015. — 480 c.

2. Самарский, А. А. Численные методы математической физики / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — М.: Альянс, 2016. — 432 c.

3. Самарский, А. А. Численные методы решения задач конвекции-диффузии / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. — М.: КД Либроком, 2015. — 248 c.

4. Бахвалов, Н.С. Численные методы. Решения задач и упражнения: учебное пособие / Н. С. Бахвалов, А. А Корнев, Е. В. Чижонков. — М.: Бином, 2016. — 352 c.

5. Панюкова, Т.А. Численные методы. — М.: КД Либроком, 2018. — 224 c.

6. Блюмин, А. Г., Федотов, А. А., Храпов, П.В. Численные методы вычисления интегралов и решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы». — М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. — 74 с.

7. Васильев, А.Н. Matlab. Самоучитель. Практический подход / А.Н. Васильев. — М.: Машиностроение, 2018. — 448 c.

8. Васильев, А.Н. MATLAB. Практический подход. Самоучитель / Васильев Александр Николаевич. — М.: Наука и техника, 2015. — 376 c.

9. Герман-Галкин, С. Г. Matlab & Simulink. Проектирование мехатронных систем на ПК / С. Г. Герман-Галкин. — М.: Корона-Век, 2014. — 368 c.

10. Вабищевич, П.Н. Численные методы: вычислительный практикум. Практическое применение численных методов при использовании алгоритмического языка PYTHON / П.Н. Вабищевич. — М.: Ленанд, 2019. — 320 c.

11. Вабищевич, П.Н. Численные методы: вычислительный практикум / П.Н. Вабищевич. — М.: Ленанд, 2016. — 320 c.

1. Samarskij, A.A. CHislennye metody resheniya obratnyh zadach matematicheskoj fiziki / A.A. Samarskij, P.N. Vabishchevich. — M.: LKI, 2015. — 480 c.

2. Samarskij, A. A. CHislennye metody matematicheskoj fiziki / A.A. Samarskij, A. V. Gulin. — M.: Al»yans, 2016. — 432 c.

3. Samarskij, A. A. CHislennye metody resheniya zadach konvekciidiffuzii / A.A. Samarskij, P.N. Vabishchevich. — M.: KD Librokom, 2015. — 248 c.

4. Bahvalov, N.S. CHislennye metody. Resheniya zadach i uprazhneniya: Uchebnoe posobie / N. S. Bahvalov, A. A Kornev, E. V. CHizhonkov. — M.: Binom, 2016. — 352 c.

5. Panyukova, T. A. CHislennye metody. — M.: KD Librokom, 2018. — 224 c.

6. Blyumin, A. G., Fedotov, A. A., Hrapov, P.V. CHislennye metody vychisleniya integralov i resheniya zadach dlya obyknovennyh differencial»nyh uravnenij: Metodicheskie ukazaniya k vypolneniyu laboratornyh rabot po kursu «CHislennye metody». — M.: MGTU im. N. E. Baumana, 2008. — 74 s.

7. Vasil»ev, A. N. Matlab. Samouchitel». Prakticheskij podhod / A.N. Vasil»ev. — Moskva: Mashinostroenie, 2018. — 448 c.

8. Vasil»ev, A. N. MATLAB. Prakticheskij podhod. Samouchitel» / Vasil»ev Aleksandr Nikolaevich. — M.: Nauka i tekhnika, 2015. — 376 c.

9. German-Galkin, S.G. Matlab & Simulink. Proektirovanie mekhatronnyh sistem na PK / S.G. German-Galkin. — M.: Korona-Vek, 2014. — 368 c. 10.Vabishchevich, P.N. CHislennye metody: Vychislitel»nyj praktikum. Prakticheskoe primenenie chislennyh metodov pri ispol»zovanii algoritmicheskogo yazyka PYTHON / P.N. Vabishchevich. — M.: Lenand, 2019. — 320 c.

11. Vabishchevich, P.N. CHislennye metody: Vychislitel»nyj praktikum / P. N. Vabishchevich. — M.: Lenand, 2016. — 320 c.

Для анализа энергетических характеристик принятого сигнала в радиоприемных устройствах используются численные методы интегрирования. В теории численных методов мы познакомимся с самыми простыми методами реализации операции интегрирования, а именно методом интегрирования средними прямоугольниками, методом трапеций, методом Симпсона. Все эти методы представляют собой квадратурную формулу представления интеграла (1):

где: f(x) — непрерывная функция на отрезке [a, b];

— некоторые точки из отрезка [a, b]; Ai — весовые параметры квадратурной формулы, N — количество разбиений отрезка.

Рассмотрим последовательно реализацию этих методов в САПР Matlab.

В данном методе отрезок [a, b] разбивается на N равных по длине элементарных отрезков интегрирования, в качестве элементарной криволинейной трапеции используют эквивалентные прямоугольники с основанием, равным длине элементарного отрезка, и высотой, равной значению функции f0 в точке

(рис. 1).

Общая формула метода средних прямоугольников имеет вид (2):

где: h — длина элементарного отрезка.

Рассмотрим реализацию данного метода в САПР Matlab, в качестве исходной функции используем f (x) = sin (x) *cos (4*x) на интервале [0, 100] с шагом интегрирования h = 1:

В результате использования этого метода получаем I = 0,5308, на нахождение ответа программа затратила 0,001260 сек., что говорит о ее простоте счета.

В данном методе отрезок [a, b] разбивается на N равных по длине элементарных отрезков интегрирования, в качестве элементарной криволинейной трапеции используют эквивалентные трапеции с основаниями, равными значениям функции f0, f1 в точках xi, xi–1, и высотой, равной длине элементарного отрезка (рис. 2).

Общая формула метода трапеций имеет вид (3):

Рассмотрим реализацию данного метода в САПР Matlab, в качестве исходной функции используем f (x) = sin (x) *cos (4*x) на интервале [0, 100] с шагом интегрирования h = 1:

Для Цитирования:
Юдачев, Ситников, Гордиенко Н.А., Монахов П.А., Анализ применения различных численных методов интегрирования и их практическая реализация в САПР Matlab. Главный механик. 2022;1.
Полная версия статьи доступна подписчикам журнала
Язык статьи:
Действия с выбранными: