Разрешение вопросов, связанных с нахождением максимальной площади участка по заданным длинам его сторон, входит в область исследований, осуществляемых при производстве судебных землеустроительных экспертиз. Такие вопросы возникают в основном при исследовании земельных участков для установления границ на землях промышленности и населенных пунктов [1]. В практике возникают случаи, в которых необходимо провести соотношение площади пятиугольного земельного участка с длинами его сторон, содержащимися в юридически значимых документах, например в правоподтверждающих документах, документах об образовании земельного участка, материалах технической инвентаризации.
Отметим, что ранее нами был рассмотрен вопрос о максимальной площади четырехугольного земельного участка, заданного своими сторонами [2]. В общем виде задачу с земельным участком с пятью сторонами можно сформулировать следующим образом: разработать способ определения максимально возможной площади пятиугольного участка при заданных длинах его сторон (рис. 1).
Очевидно, что пятиугольник с известными длинами своих сторон не является однозначно фиксированным (в отличие от треугольника), поскольку заданные длины сторон позволяют построить бесчисленное множество пятиугольников различной формы и, соответственно, площади.
Диагонали разобьют фигуру на три треугольника:
Заметим, что пятиугольник будет существовать лишь тогда, когда каждая из его сторон будет удовлетворять условию:
Сумма площадей треугольников является целевой функцией для исследования:
Возможны четыре случая:
С учетом ограничений (8) первое уравнение системы (6) преобразуется к виду:
Второе – к виду:
Окончательно получим систему:
Соответственно, максимальная площадь пятиугольника по формуле (4) будет равна:
Помимо решения задачи аналитическим способом можно использовать решение оптимизационной задачи нахождения максимальной площади пятиугольника в координатах.
Постановка задачи будет аналогична описанной выше. Для решения воспользуемся изотропностью и однородностью евклидова пространства, поэтому разместим в AutoCAD вершину A в начале координат (A(0;0)), а вершину B – в точке с координатами (0;30). Остальные вершины расположим произвольным образом с учетом длин сторон пятиугольника, так как про них нам неизвестно ничего, кроме расстояний между ними.