В 1950 году с отличием окончил Свердловский государственный медицинский институт (ныне Уральский государственный медицинский университет), работал врачом-фтизиатром. В 1951 году по конкурсу поступил в аспирантуру Свердловского НИИ гигиены труда и профзаболеваний Минздрава РСФСР (ныне ФБУН «Екатеринбургский медицинский научный центр профилактики и охраны здоровья рабочих промпредприятий» Роспотребнадзора), В 1955 году Б.Т. Величковский защитил кандидатскую диссертацию по теме «Пылевой фактор и профилактика силикоза в производстве технически чистого кремния». Научным руководителем диссертации был создатель уральской школы профилактической медицины, руководитель отдела гигиены труда Свердловского НИИ гигиены труда и профзаболеваний Минздрава РСФСР профессор Соломон Вениаминович Миллер (1898–1973), который впоследствии выступил научным консультантом по докторской диссертации Б.Т. Величковского.
В 1957 году Б.Т. Величковский назначен заведующим лабораторией экспериментального пневмокониоза Свердловского НИИ гигиены труда и профзаболеваний Минздрава РСФСР, в 1958–1965 годах был заместителем директора по научной работе. В 1969 году Борис Тихонович защитил докторскую диссертацию по теме «Гигиеническая характеристика аэрозолей конденсации двуокиси кремния». В 1970 году присвоено учёное звание профессора. В 1978 году избран членом-корреспондентом АМН СССР, в 1988 году — академиком АМН СССР (РАМН), с 2013 года — академик РАН.
В 1965–1974 годах Б.Т. Величковский — директор Свердловского НИИ гигиены труда и профессиональных заболеваний. В 1974 году Б.Т. Величковский переезжает в Москву и становится начальником Главного управления научно-исследовательских институтов и координации научных исследований, председателем Учёного совета и членом коллегии Министерства здравоохранения РСФСР. На этом поприще за 10 лет им проделана большая работа по демократизации и совершенствованию форм и методов планирования и финансирования научных исследований, развитию сети, укреплению материально-технической базы и кадрового потенциала научных медицинских учреждений РСФСР.