В топологии — разделе геометрии высокого уровня — к односторонним поверхностям относятся лента Мёбиуса, бутылка Клейна, гептаэдр и поверхность Штайнера (Римская поверхность).
Лента Мёбиуса стала первой ставшей известной односторонней поверхностью в трудах немецких математиков А. Мёбиуса (1790–1868) и И. Листинга (1808–1882), которые открыли ее независимо друг от друга почти одновременно [1]. У бесконечной замкнутой ленты в перпендикулярном направлении есть края, то есть один край с двух сторон (рис. 1). Другой немецкий математик Ф. Клейн (1849–1925), также посвятивший односторонним поверхностям свои труды, придумал в 1882 г. замкнутую одностороннюю поверхность, не имеющую края и получившую название «бутылка Клейна» (рис. 2) [2].
Гептаэдр, или семигранник, исследовал швейцарский математик Штайнер Я. (1796–1863) [3, 4]. Путем деформации гептаэдра он получил другую одностороннюю поверхность, которая имеет два названия: поверхность Штайнера и Римская поверхность (рис. 3). Следует ожидать, считают современные геометры, что идеи и результаты работ Штейнера Я. найдут дальнейшее развитие и применение в различных областях современной науки и техники.
В начале XX в. научные идеи Мёбиуса и Клейна развили немецкие математики Д. Гильберт Д. и Кон-Фоссен С. [5]. С конца XX в. появились выдающиеся исследования односторонних поверхностей российских геометровтопологов [6].
Первые патенты на изобретения инженеров и физиков, в которых использованы свойства односторонних поверхностей, появились в XX в. В разных странах мира с начала XX в. стали оформляться патенты на изобретения, в основе которых лежала односторонняя поверхность. Американский изобретатель Форест Л-Д. предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек сразу с обеих сторон. Это изобретение стало удобно использовать для передачи многократно повторяющейся информации через репродукторы [7].
В 1963 г. лента Мёбиуса была применена при химчистке в самоочищающемся фильтре, который беспрерывно освобождается от впитанной грязи. В 1969 г. в СССР было получено авторское свидетельство на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими сторонами. Такая лента служит вдвое дольше обычной ленты. Эту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии для магнитной дефектоскопии. Магнитный сердечник из ферромагнитной ленты, созданный сотрудниками института электродинамики Академии наук Украинской ССР, был изготовлен в форме ленты Мёбиуса. Магнитные свойства сердечника были улучшены благодаря равномерности магнитного поля по его сечению [8].