Знание перемещений в упругой бесконечно протяжённой полуплоскости как функции пространственных координат позволяет определить перемещение её свободной границы (дневной поверхности). Если нагрузка на полуплоскость является стандартной, например, сосредоточенное воздействие по нормали или по касательной, либо равномерно распределённое воздействие по нормали или по касательной к свободной границе полуплоскости, то определение перемещений (линейных и угловых) внутри полуплоскости представляет собой тривиальную задачу, хотя и достаточно сложную. Другое дело, если воздействие на свободной границе полуплоскости распределено по произвольному закону и представляет собой совокупность нормальных и касательных сосредоточенных сил и равномерно распределённых нагрузок. Получить аналитическое решение для перемещений в данном случае представляет собой чрезвычайно сложную, практически неразрешимую задачу. Кроме того, при аналитическом определении перемещений в упругой полуплоскости отсутствует принципиальная возможность определения абсолютных значений перемещений [1]. С другой стороны, численно эта задача решается достаточно просто, хотя при этом в отличие от аналитического решения теряется точность решения.
В данной работе рассматривается численноаналитический способ определения перемещений в упругой полуплоскости, в соответствии с которым напряжения и деформации в полуплоскости определяются по известным аналитическим формулам, а перемещения — методом конечных разностей на основании геометрических соотношений Коши.
Решению данной задачи посвящены многие научные работы. Так, в работе [2] рассматривается определение напряжённо-деформированного состояния упругой полуплоскости, нагруженной равномерно распределёнными нормальными и касательными усилиями, методом конечных элементов (МКЭ). В статье [3] приводятся аналитические решения задач об определении полей напряжений, деформаций и перемещений в упругой однородной и изотропной полуплоскости, находящейся под действием нормальной нагрузки, методом комплексных потенциалов. В работе [4] рассмотрен расчёт напряжённо-деформированного состояния упругой полуплоскости в терминах функции перемещений. Получен аналог бигармонического уравнения для функции перемещений, через которую выражены как вертикальное и горизонтальное перемещения упругой полуплоскости, так и нормальные и касательные напряжения.