Для описания сложных физических явлений, происходящих в цепях, содержащих коммутационные аппараты, необходимо иметь математическую модель электрической дуги. Существует ряд подходов к моделированию дуги.
Первый подход предполагает описание физических процессов в столбе дуги, что приводит к необходимости решения основных уравнений для дуговой плазмы.
Решение же системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые описывают состояние дуговой плазмы, в сочетании с уравнениями цепи, в которой горит электрическая дуга, представляет собой нелегкую, а порой и неразрешимую задачу.
При втором подходе для построения математической модели дуги используется интегральное уравнение энергетического баланса. Такие модели целесообразно использовать при расчетах взаимодействия дуги в коммутационном аппарате и электрической цепи, в которой установлен этот аппарат. Для их построения достаточно иметь полученные при испытаниях осциллограммы тока и напряжения на дуге. Модели этого типа называются интегральными динамическими моделями электрической дуги [1, с. 145] и представляют собой класс нелинейных дифференциальных уравнений первого, второго и более высоких порядков.
Первыми динамическими моделями дуги такого типа были модели Майра [2, с. 588] и Кассии [3, с. 12]. Они использовались исследователями для проведения качественного анализа процессов в цепях с электрическими дугами.
Определим оценки параметров динамической модели дуги с постоянными коэффициентами. В качестве иллюстрации работоспособности методики определим параметры наиболее популярной среди двухпараметрических моделей электрической дуги – модели Майра:
где: I, U, g – ток, напряжение и проводимость дуги, соответственно;
P0 – величина теплоотвода от ствола дуги;
– постоянная времени дуги;
Q0 – параметр, определяемый по экспериментальным данным.
Для получения локальной или интегральной оценки параметров необходимо минимизировать целевую функцию в один или несколько этапов (в зависимости от того, какую оценку необходимо получить). На первом этапе минимизации, как правило, используют метод наименьших квадратов. А дальнейшее уточнение значений параметров для каждого наблюдения возможно провести одним из градиентных методов.