В известной работе Пицетти П. [1, п. 16, с. 33] была сформулирована проблема Стокса определения внешней потенциальной функции V планеты, если задана ее уровенная поверхность S, масса M и угловая скорость ω.
Потенциальная функция V при этом должна удовлетворять следующим условиям:
1. Быть гармонической функцией, т. е. удовлетворять уравнению Лапласа:
∆V = 0. (1)
2. На поверхности S принимать вид
A – ω2 / 2 × (x2 + y2)= 0, (2)
где A = const — постоянная величина.
3. Обозначая через ρ расстояние притягиваемой точки от некоторой постоянной точки планеты, должно быть:
limρ→ + ∞ (ρV) = M. (3)
Таким образом, в задаче Стокса решается вопрос определения внешнего гравитационного поля планеты по известным характеристикам: постоянной угловой скорости вращения, массе и фигуре.
В настоящей работе ставится и решается задача, обратная к проблеме Стокса, которую можно сформулировать следующим образом: по известным постоянной угловой скорости вращения, массе и внешнему гравитационному полю планеты определить ее фигуру, т. е. уравнение ее уровенной поверхности.
В приведенной постановке необходимо знать решение V(x, y, z) уравнения Лапласа (1), удовлетворяющее условию (3) и независящее, в частности, от постоянных параметров ω и A.
После этого из трансцендентного уравнения
V(x, y, z) = – ω2 / 2 × (x2 + y2) + A, (4)
необходимо определить соответствующее уравнение уровенной поверхности планеты.
В общем случае решение сформулированной задачи предполагает:
1. Исследование существования и свойств решения уравнения (4).
2. Нахождение его вида.
3. Описание формы соответствующей уровенной поверхности.
В работах [2–4] все эти вопросы решены для случая, когда решение уравнения Лапласа (1) задано в виде потенциала
(5)
обобщенной задачи двух центров.