Первым ученым, приступившим к изучению минимальных поверхностей в XVIII в., считается французский математик Лагранж Жозеф Луи. Бельгийский физик Плато Жозеф исследовал различные метаморфозы, происходящие с мыльными пленками. Самой простой из изученных минимальных поверхностей ученые называют катеноид. Эта поверхность образуется при вращении цепной линии, которая совпадает с кривой провисания тяжелой цепи, закрепленной в двух точках. Отсюда название поверхности от лат. catena (цепь) и от греческого éidos (вид) [1, 2]. Форму катеноида принимает мыльная пленка, натянутая на два кольца из проволоки. На рис. 1 показана электронная модель катеноида [3]. Удивительно, что всего лишь одним разрезом и осторожными манипуляциями катеноид может превратиться в геликоид — еще одну минимальную поверхность (рис. 2) [4]. Катеноид и геликоид были математически описаны Эйлером Л.
Геликоид — это поверхность, ограничивающая резьбу, а резьбовое соединение деталей является самым распространенным видом соединения в машиностроении (рис. 3 (а, б, в) [5].
На рис. 4 показаны винтовой компрессор и вездеход, главные детали которых ограничены винтовой поверхностью [6, 7].
На рис. 5 приведена минимальная поверхность «гиперболический параболоид» [8]. Эта поверхность относится к группе поверхностей под общим названием «поверхности Каталана» по имени бельгийского математика Ш.Э. Каталана, создавшего их. Поскольку поверхность нашла применение в строительстве, то она имеет еще одно название — «косая плоскость».
Архитекторы используют минимальные поверхности в качестве тентовых покрытий для спортивно-зрелищных сооружений [9, 10]. На рис. 6 крыша Олимпийского стадиона в Мюнхене (Германия) имеет вид оболочки, представляющей собой минимальную поверхность.
1978 г. бразильский математик Хосе де Коста обнаружил новый вид минимальной поверхности (рис. 7). В результате была открыта большая группа поверхностей, названных «дырявыми» минимальными поверхностями [11].
Гироиды представляют собой минимальные поверхности, состоящие из повторяющихся элементов (рис. 8) [12]. Эти поверхности привлекли внимание ученых, занимающихся созданием новых пористых материалов, обладающих минимальной плотностью и достаточной прочностью для выдерживания атмосферного давления.