При расчетах установившихся режимов в электрической цепи (ЭЦ) с синусоидальными источниками энергии часто сталкиваются с необходимостью решения систем дифференциальных уравнений Кирхгофа, в которых в качестве неизвестных выступают синусоидальные токи в ветвях цепи. При этом необходимо выполнять алгебраические операции сложения и вычитания синусоидальных функций времени, операции их дифференцирования и интегрирования. Конечно, существуют тригонометрические процедуры, обеспечивающие все эти операции, что зачастую требует громоздких и трудоемких вычислений, являющихся следствием того, что синусоидальная величина - ток, напряжение, ЭДС - при заданной частоте описывается двумя величинами - амплитудой и начальной фазой. В некоторых случаях расчет существенно упрощается заменой алгебраических действий над синусоидальными функциями геометрическими графическими операциями над изображающими их векторами, однако, при этом снижается точность решения.
В то же время в математике часто используют метод анализа, основанный на операторном подходе, например логарифмирование. Суть операторного подхода заключается в переходе вычислительных операций из области исходных функций, называемых оригиналами, в область специальных функций, называемых изображениями.
При расчетах синусоидальных установившихся режимов в ЭЦ эффективным оказывается переход от синусоидальных функций времени (оригиналов) к комплексным изображениям этих функций. В основе этого перехода лежит известная формула Эйлера:
где: Am – амплитуда;
ψ - начальная фаза;
ω - круговая частота синусоиды.
Оператор Im (imaginary, в переводе с английского - нереальный, мнимый) означает выполнение процедуры взятия мнимой части комплексного числа.
При расчетах ЭЦ в синусоидальном режиме в большинстве случаев источники схемы имеют одну и ту же частоту ω. В связи с этим переход к изображениям от функций оригиналов можно упростить, отбросив сомножитель ℮jωt:
Это позволяет изобразить синусоидальные функции времени комплексными числами А̇, содержащими в себе две величины: модуль А и аргумент ψА при показательной форме записи А̇ = А℮jψA: или вещественную a1 = AcosψA и мнимую ja2 = jAsinψA составляющие при алгебраической и тригонометрической формах записи A = a1 + ja2 = AcosψA + jAsinψA[1].