В современной теоретической гравиметрии в качестве математического аппарата традиционно используют задачу Дирихле для уравнения Лапласа и Пуассона. Такой подход имеет свои модельные ограничения. При этом подходе плотность гравитирующих масс никак не учитывается, что является дополнительным и существенным ограничением самой математической модели. В работе [1] для решения теоретических задач гравиметрии и геофизики предлагается использовать краевую задачу для интегро-дифференциального уравнения
с естественным граничным условием
Такая модель имеет, как представляется, то преимущество по сравнению с упомянутыми выше классическими задачами, что в случае, если удастся построить ее решение, это позволит определить формулу плотности распределения гравитирующих масс, создающих потенциальное поле u . Поэтому исследование условий существования решения рассматриваемого уравнения представляется важным этапом для построения самого решения и дальнейшего его анализа. В цитируемой выше работе [1] приведена схема получения основных свойств рассматриваемой задачи. В настоящей статье уравнение (1, 2) рассматривается в более широком классе функций, чем в статье [1], а также дается строгое обоснование условий существования ее решения в этом классе функций.
Для дальнейшего изложения обозначим
— точки евклидова пространства R3 ,
а расстояние между точками
и
зададим формулой
Под G будем понимать ограниченную область с границей S класса C2 , а под
— ее дополнение, предполагаемое областью внешнего типа. Обозначим
и
— классы функций дважды непрерывно дифференцируемых в областях G и G1 , соответственно, непрерывных на их замыкании, имеющих правильные нормальные производные
изнутри и извне G на границе S . Здесь
— внешняя по отношению к G нормаль к S , а
Исходная задача состоит в исследовании условий существования функции
класса Fu , удовлетворяющей на G уравнению (1) и на S граничному условию (2), где