Расчет и проектирование ферменных конструкций с большим числом элементов, как правило, обычно производят в специализированных пакетах, основанных на методе конечных элементов. Несмотря на сравнительную простоту работы с этими пакетами и их универсальность, отметим, что в последнее время для расчетов строительных конструкций все больше используются аналитические (формульные) решения. Это связано в основном с развитием систем компьютерной математики (Mathematica, Maple, Maxima). Имеются расчеты плоских [1–15] и пространственных [16] ферм с использованием метода индукции, позволяющего получать решения, зависящие от числа панелей. Последнее открывает широкие возможности для точного (в пределах модели) расчета больших и сверхбольших проектируемых пролетов, именно тех, где стандартные и, вроде бы хорошо апробированные, численные пакеты дают погрешности, связанные с накоплением ошибок округления. Наиболее эффектны задачи о прогибе регулярных конструкций, решение которых зависит от одного (или более [17]) натурального параметра – числа ячеек периодичности. Именно такая ферма шпренгельного типа рассматривается ниже.
Ферма на рис. 1 представляет собой плоскую балочную ферму, усиленную шпренгельными элементами. Нагрузка равномерно распределена по узлам нижнего пояса. В первом приближении стержни принимаются одинаковой площади сечения, узлы – идеальными шарнирами. В ферме, имеющей n ячеек периодичности, содержится 10n – 2 узел и m = 20n – 4 стержень.
Ставя конечной целью получение общей формулы зависимости прогиба от числа панелей, необходимо получить сначала расчет усилий в стержнях в аналитической (символьной) форме. В программе [18] предлагается общий алгоритм такого решения в системе Maple. Для этого необходимо пронумеровать стержни и узлы (рис. 2), определить координаты всех узлов и структуру соединения стрежней и узлов.
Приведем фрагмент программы, задающей координаты шарниров. Начало координат располагается в левой подвижной опоре:
В программу также вводится структура решетки в виде условных векторов N, содержащих номера концов стержней. Так кодируются, например, нижний пояс, а затем прямолинейная часть верхнего: