Современные науки, такие так математика, физика, астрономия, экономика и другие, широко используют в своих целях следующие математические понятия: «дифференциальные и интегральные уравнения», «разложение в ряд и функции комплексного переменного», «векторный анализ и дифференциальная геометрия», «матрицы и тензорный анализ» и т. д.
С ними можно встретиться и в уравнениях математической физики, где, в частности, используются обобщенные функции и сверточные операции над ними, и в спектральном анализе, и в операционном исчислении, основанных на интегральных преобразованиях Фурье и Лапласа и во многих других методах, где применяется дифференцирование и/или интегрирование функций.
Основой всех этих понятий являются производная и интеграл1 . Две математические операции, «противоположные» друг к другу, как сложение и вычитание, умножение и деление. Две «взаимообратные» функции, как sin(x) и arcsin(x),
Две математические операции, логически дополняющие друг друга. Производная от интеграла не меняет функцию, как и интеграл от производной, оставляет ее без изменения.
Как и любая математическая операция, они имеют свои «иконки» на листе бумаги, как обычная «иконка» на экране компьютера. Так, дифференци рование обозначается как y’ или d/dx, а интегрирование —
При этом однократный интеграл обозначается как
а двукратный —
С производной же дело обстоит сложнее, она имеет две «иконки»: y’ и d/dx. На рисунке 1 приведены (как один из вариантов) существующие на данный момент обозначения — «иконки» дифференциалов и интегралов, широко используемые в литературе.
Как видно из рисунка, все многообразие этих «иконок» имеет одно общее для всех свойство — в них пытаются различными способами отразить или с помощью чисел, или графическим способом порядок производных или кратность интеграла. Для того чтобы унифицировать запись производ ных и/или интеграла, рассмотрим их относительно некой числовой оси «K», где значение параметра k соответствует кратности интеграла и/или порядку производной. Так, при таком раскладе «иконок» k = -1 соответствует обозначению«иконке» однократного интеграла