Современные науки, такие как математика, физика, астрономия, экономика, и другие широко используют в своих целях следующие математические понятия: дифференциальные и интегральные уравнения, разложение в ряд и функции комплексного переменного, векторный анализ и дифференциальная геометрия, матрицы и тензорный анализ и т. д.
С ними можно встретиться и в уравнениях математической физики, где, в частности, используются обобщенные функции и сверточные операции над ними, и в спектральном анализе, и в операционном исчислении, осно ванных на интегральных преобразованиях Фурье и Лапласа, и во многих других методах, где применяется дифференцирование и/или интегрирование функций.
Основой всех этих понятий является производная и интеграл1.
Как видно из рисунка, все многообразие этих «иконок» имеет одно общее для всех свойство — в них пытаются различными способами отразить или с помощью чисел или графическим способом порядок производных или кратность интеграла. Для того чтобы унифицировать запись производных и/или интегралом, рассмотрим их относительно некой числовой оси «K», где значение параметра k соот ветствует кратности интеграла и/или порядку производной. Так, при таком раскладе «иконок» k = –1 соответствует обозначению-«иконке» однократного интеграла ∫ y (x) dx из 2-й строки и «иконке» того же интеграла f 1 * y из 3-й, а при k = 1 имеем «иконку» первой производной y’ из 1-й строки и «иконку» той же первой производной d/dx из 2-й. В третьей строчке приведены обозначения дифференциалов и интегралов, основанные на сверточных операциях обобщенных функций: y(k) = f–k * y, где k > 0, значение, неравное целому числу, называется дробной производной порядка k. Выражение вида: y(k) = fk * y называется первообразной порядка k, т. е. интегралом кратности k [1]. При этом все производные, включая дробные, имеющие отрицательный индекс, расположены на числовой оси справа, а все интегралы с положительным индексом — наоборот, слева. Можно было расположить «иконки» по-другому, сменить плюс на минус, но суть бы при этом не поменялась. Типов «иконок» много, привязка к числовой оси требует уточнения.