Вопросы моделирования механического поведения твёрдых деформируемых тел под действием внешних нагрузок в части построения разрешающих дифференциальных уравнений в перемещениях, при билинейной аппроксимации замыкающих уравнений подробно рассмотрены в работе [1]. Автор ставил задачу упростить построение решения задач механики деформируемого твёрдого тела, но при этом максимально учесть реальное механическое поведение нелинейно-упругих тел. Для этого рассматривались твёрдые тела, материал которых подчиняется уравнениям общей нелинейной и физически и геометрически теории упругости [2, 3]. Функции, описывающие изменение модуля объёмного расширения (сжатия) и модуля сдвига — так называемые замыкающие уравнения — аппроксимировались билинейными функциями. Физические уравнения записывались с использованием касательных модулей объёмного расширения (сжатия) и сдвига.
Кроме аппроксимации замыкающих уравнений билинейными функциями, возможны и другие формы аппроксимации, например биквадратичными функциями [4]. Анализ свойств определяющих соотношений теории деформирования физически нелинейных материалов с зависящими от вида напряжённого состояния свойствами выполнен в работе [5] на примере вращающегося диска. При этом учтены две формы нелинейности: нелинейность диаграмм деформирования и изменение диаграмм деформирования в зависимости от условий нагружения. В работе [6] выполнено сравнение различных аппроксимаций диаграмм деформирования бетона — билинейной, трёхлинейной, криволинейной с нисходящей ветвью — на примере расчёта большепролётной железобетонной фермы с учётом физической нелинейности и бетона и арматуры. В статье [7] на примере задачи Ламе для толстостенного в среднем изотропного цилиндра из нелинейно-деформируемого материала впервые решена краевая задача для нелинейно деформируемого твёрдого композиционного тела без использования нелокальных гипотез о малости объёма композиционного материала по углу, для которого устанавливаются эффективные характеристики. Установлено, что можно построить эффективную нелинейную диаграмму деформирования композиционного материала цилиндра как линейную комбинацию нелинейных диаграмм отдельных компонент с весами в виде концентраций. В работе [8] показана ограниченность обобщённого закона Гука при определении напряжённо-деформированного состояния современных изотропных конструкционных материалов рамками соблюдения гипотезы «единой кривой деформирования». Подчёркивается, что несравненно лучшими оказываются аналитические аппроксимации опытных данных при одноосном растяжении и при одноосном сжатии различными линейными функциями. Отмечено, что, несмотря на достаточно большое количество предложенных квазилинейных моделей уравнений состояния изотропных материалов, наиболее общими, точными, экспериментально адаптированными и теоретически непротиворечивыми являются потенциалы деформаций, сформулированные в двух нормированных пространствах напряжений. В статье [9] рассмотрены различные математические способы аппроксимации диаграммы деформирования материала, необходимые для напряжённо-деформированного состояния упругопластического деформирования соединений пересекающихся оболочек вращения при физически нелинейном поведении материалов. В работе [10] предлагается ввести универсальный критерий оценки сопротивляемости бетона силовому воздействию — это энергозатраты на деформирование и разрушение. Данный критерий вычисляется через определённый интеграл функции σ = f(ε). С использованием этого критерия было установлено, что для дальнейшего совершенствования нелинейной деформационной модели можно рекомендовать диаграммы сжатия, рекомендованные нормами проектирования бетонных и железобетонных конструкций. В статье [11] исследовано влияние вида функциональной зависимости напряжений от деформаций на точность определения прогибов пластины из нелинейно деформируемого материала. Рассмотрены линейные, степенные, параболические, гиперболические, экспоненциальные, тригонометрические функции, применяемые для описания диаграмм деформирования цементных бетонов при сжатии.