Иногда приходится слышать мнение, что в наше компьютерное время не существует проблем, связанных с решением дифференциальных уравнений (ДУ). Вообще говоря, это так, если иметь в виду только само компьютерное решение ДУ, которое является численным, соответствующим конкретным значениям всех буквенных параметров, входящих в ДУ. Но, как только дело касается некоторой задачи, в которой решение ДУ — лишь промежуточный этап, указанное мнение зачастую радикально изменяется.
Прежде всего, сказанное относится к инженерным оптимизационным задачам, когда в результате формирования, например, минимизируемого интегрального критерия, решение ДУ, зависящее от искомых (оптимальных) численных значений буквенных параметров, сначала должно претерпеть определенные (и зачастую весьма сложные) преобразования во взаимосвязи с рядом других функций. Затем полученные выражения вносятся под знак интеграла, после чего этот интеграл минимизируется по упомянутым буквенным параметрам, например, с помощью известного метода наименьших квадратов, что определяет их оптимальные численные значения. И сразу становится очевидным, как радикально усложняют оптимизационную задачу численные решения ДУ и, наоборот, насколько адекватными в этом случае являются аналитические (буквенные) решения.
Во многих обычных и оптимизационных расчетах приходится иметь дело с весьма сложными линейными ДУ с ПЕРЕМЕННЫМИ коэффициентами. Для таких ДУ известно ограниченное число аналитических решений, соответствующих конкретным функциям и для коэффициентов, и для правых частей [1]. Известен также ряд именных ДУ с аналитическими решениями в терминах сложных специальных функций, аналитически не интегрируемых с элементарными функциями. Это, например, уравнения Бесселя, Эйри и Матье, которые являются однородными и всего лишь уравнениями 2‑го порядка. И стоит только чуть‑чуть изменить какой‑то переменный коэффициент — и аналитического решения уже нет!
В связи с этим для решения важных практических задач, связанных с оптимизацией, например, переходных процессов, описываемых ДУ с переменными коэффициентами, актуальной является разработка аналитических методов решения соответствующих ДУ. Именно таким является излагаемый ниже метод САПВУ.