Будущий инженер родился 13 марта 1813 г. в селе Студенец, которое находилось в Воронежской губернии. Его отец Иван Антонович был обрусевшим немцем с именем Рейнгольд Иоганн (1783-1815), состоял в рядах Русской императорской армии, после чего в чине майора подал в отставку. Мать — Александра Андреевна (1788-1844) была дочерью князя Андрея Александровича Волконского, а ее прадедом был Григорий Иванович Волконский, сподвижник императора Петра I. Семья вела тихую и спокойную жизнь, и о детстве Андрея Ивановича мало что известно.
В 1821 г. А.И. Дельвига приняли в частный пансион Д.Н. Лопухиной, где он учился на протяжении пяти лет. Изначально его определили в класс для детей малого возраста, что не помешало ему стать лучшим учеником и завоевать любовь учителей. В учебе ему очень помогал багаж знаний, который был накоплен еще в процессе домашнего обучения.
Пять лет спустя молодой барон завершил свое обучение в частном пансионе Д.Н. Лопухиной, а выпускной экзамен у него принимал Николай Иванович Яниш. Несколько позже, в 1827 г. по протекции все того же Яниша, А.И. Дельвиг поступил в Строительное училище, а после успешного окончания училища он поступил в Институт путей сообщения. За отличие в науках молодой барон по лучил чин поручика, после чего в 1832 г. его приняли на действительную службу, проходившую в Третьем округе путей сообщения. Утверждение Андрея Ивановича на должность курировал инженер-генерал-майор Николай Яниш, работавший в должности начальника III Московского округа путей сообщения.
В Москве Н. Яниш многим был известен тем, что проводил многочисленные ремонтные работы на водопроводе, однако тот все равно не действовал должным образом, из-за чего водоснабжение города находилось в плачевном состоянии. Именно эту проблему и поставили перед молодым инженером Дельвигом, которому впоследствии пришлось перебраться в село Алексеевское и жить в выделенной ему маленькой комнатке грязной крестьянской избы.
В начале своей карьеры Андрей Иванович Дельвиг вел журнал учета числа работавших каменщиков, количества расходуемых материалов и погодных условий. Чуть позже в том же 1832 г. ему удалось перебраться из Алексеевского села в Большие Мытищи, где ему поручили переустройство ключевых бассейнов, пришедших на тот момент в полную негодность. Тогда он был определен под начало инженера А. Максимова. Когда тот дал А. Дельвигу задание подготовить чертежи и составить сметы, Андрей Иванович признался в том, что вовсе не умел чертить, но имел превосходную математическую подготовку, впоследствии помогавшую ему легко осуществлять решение сложных вычислений и отлично составлять сметы.