Во многих практических случаях функция высшей производной в ДУ с переменными коэффициентами может иметь сложный колебательный характер. Аппроксимация такой функции отрезком степенного ряда требует весьма значительной длины этого отрезка, что может приводить к плохой обусловленности алгебраической системы, определяющей значения коэффициентов аппроксимации [1]. Поэтому в задачу настоящей статьи входит разработка методов, основанных на использовании аппроксимаций тригонометрическими рядами. Оказалось, что таких аппроксимаций может быть две: одна — отрезком квазиряда Фурье, а другая — отрезком ряда Фурье.
Как и в [1], буквенному решению подлежит обыкновенное линейное ДУ любого порядка N с переменными вещественными функциями коэффициентов fn (t) и функцией f (t) правой части:
где t — любая вещественная переменная координата, например, или время, или пространственный размер, или некоторая абстрактная величина, а F(n) = F(n) (t) — производная порядка n = 0, 1, 2, …, N по координате t от искомой функции F (0) = F = F (t) решения ДУ, при этом:
• величина tδ < ∞ известна, т. е. она задана или выбирается произвольно (например, при описании переходного процесса координатой t служит время, теоретически изменяющееся до t = ∞, которое, как правило, можно ограничить некоторым значением t δ < ∞);
• функции fn (t) и f (t) в пределах ограниченного t-интервала (1) являются интегрируемыми и удовлетворяют условию:
где CN — коэффициент, как и в [1], используемый для аппроксимации высшей производной ДУ.
Используем принятые в [1] ОБОЗНАЧЕНИЯ для начальных (при t = 0) и концевых (при t = t δ ) значений производной F (n) :
где, следовательно, F0 (n) − начальное, а Fδ (n) — концевое значения n-й производной F(n) от функции F(0) = F = F(t), при этом запись
означает, что n = 0, 1, 2, …, N (аналогично,