Цель представленной статьи состоит в демонстрации широких возможностей применения алгоритма рядов Пеано к решению прикладных задач. Рассмотрим стержень, лежащий на упругом основании, свойства которого описываются двумя коэффициентами постели kП и k* [1], нагруженный распределенной нагрузкой q0 и продольной силой F.
Дифференциальное уравнение плоского изгиба стержня с переменными параметрами имеет вид [2]
Это уравнение описывает деформации балки, у которой характеристики поперечного сечения постоянны, а коэффициенты постели изменяются в продольном направлении:
В этих выражениях E — модуль упругости, G — модуль сдвига, A — площадь сечения, J — момент инерции.
Вводится вектор состояния
При этом уравнение (1) сводится к системе нормального вида:
Y′ = AY + F.
Здесь Y — вектор неизвестных функций; A — матрица коэффициентов; F — вектор заданных функций (вектор «нагрузок»).
Общее решение этой системы в виде матрицанта Ω получим с помощью алгоритмического ряда Пеано [2, 3]:
где Е — единичная матрица.
В качестве первого применения такого алгоритма рассмотрим задачу о расчете сваи постоянного сечения на действие вертикальной и горизонтальной нагрузки. В технических приложениях обычно применяют модель с винклеровым основанием, поэтому положим k* = 0. При расчете свай обычно предполагают, что в однородном грунте коэффициент постели увеличивается с глубиной. Будем считать, что грунтовое основание состоит из ряда слоев, а коэффициент постели изменяется в пределах каждого слоя по линейному закону (рис. 1). При более сложной зависимости kП(z) всю длину можно разбить на участки, в пределах которых ее с достаточной точностью можно считать линейной. Пусть верхнему сечению участка соответствует значение коэффициента постели kП1, а нижнему — kП2. Тогда среднее значение
Удовлетворив граничным условиям и определив вектор начальных параметров C0 , можно затем определить внутренние усилия сваи. Этот алгоритм может корректироваться в зависимости от характера решаемой задачи.